System der Ungleichungen Löser

In Kapitel 2 haben wir Regeln für das Lösen von Gleichungen mit den Zahlen der Arithmetik aufgestellt. Nachdem wir nun die Operationen mit vorzeichenbehafteten Zahlen gelernt haben, werden wir dieselben Regeln verwenden, um Gleichungen zu lösen, die negative Zahlen beinhalten. Wir werden auch Techniken zum Lösen und Darstellen von Ungleichungen mit einer Unbekannten untersuchen.

LÖSEN VON GLEICHUNGEN MIT VORZEICHENBEHAFTETEN ZAHLEN

ZIELE

Nach Abschluss dieses Abschnitts sollten Sie in der Lage sein, Gleichungen mit vorzeichenbehafteten Zahlen zu lösen.

Beispiel 1 Löse nach x auf und prüfe: x + 5 = 3

Lösung

Mit den gleichen Verfahren, die wir in Kapitel 2 gelernt haben, subtrahieren wir 5 von jeder Seite der Gleichung, um

Beispiel 2 zu lösen und zu prüfen: - 3x = 12

Lösung

Wenn wir jede Seite durch -3 dividieren, erhalten

wir

Immer einchecken in der ursprüngliche Gleichung.

Eine andere Möglichkeit, die Gleichung 3x - 4 = 7x + 8 zu lösen , wäre, zuerst 3x von beiden Seiten zu subtrahieren , um -4 = 4x + 8 zu erhalten, dann 8 von beiden Seiten zu subtrahieren und -12 = 4x zu erhalten. Teilen Sie nun beide Seiten durch 4, um - 3 = x oder x = - 3 zu erhalten.

Entfernen Sie zuerst die Klammern. Befolgen Sie dann das in Kapitel 2 gelernte Verfahren.

Nach

Abschluss dieses Abschnitts sollten Sie in der Lage sein:

1. Eine wörtliche Gleichung zu identifizieren.
2. Zuvor gelernte Regeln anzuwenden, um wörtliche Gleichungen zu lösen.

Eine Gleichung, die mehr als einen Buchstaben hat, wird manchmal als wörtliche Gleichung bezeichnet. Gelegentlich ist es notwendig, eine solche Gleichung für einen der Buchstaben in Bezug auf die anderen zu lösen. Das besprochene und angewandte Schritt-für-Schritt-Verfahren in Kapitel 2 ist auch nach dem Entfernen aller Gruppierungssymbole gültig.

Beispiel 1 Löse nach c auf: 3(x + c) - 4y = 2x - 5c

Lösung

Entferne zuerst die Klammern.

An dieser Stelle stellen wir fest, dass wir, da wir nach c auflösen, auf der einen Seite c und auf der anderen Seite der Gleichung alle anderen Terme erhalten wollen. So erhalten

wir

Erinnern Sie sich, abx ist dasselbe wie 1abx. Wir dividieren durch den Koeffizienten von x, der in diesem Fall ab ist.

Löse die Gleichung 2x + 2y - 9x + 9a, indem du zuerst 2.v von beiden Seiten subtrahierst. Vergleichen Sie die Lösung mit der im Beispiel erhaltenen Lösung.

Manchmal kann die Form einer Antwort geändert werden. In diesem Beispiel könnten wir sowohl den Zähler als auch den Nenner der Antwort mit (- l) multiplizieren (dies ändert den Wert der Antwort nicht) und erhalten

den Vorteil des letzteren Ausdruck über den ersten ist, dass es nicht so viele negative Zeichen in der Antwort gibt.

Die Multiplikation von Zähler und Nenner eines Bruchs mit der gleichen Zahl ist eine Anwendung des Grundprinzips der Brüche.

Die am häufigsten verwendeten literalen Ausdrücke sind Formeln aus der Geometrie, Physik, Wirtschaft, Elektronik usw.

Beispiel 4 ist die Formel für die Fläche eines Trapezes. Löse nach c auf.

Ein Trapez besteht aus zwei parallelen und zwei nicht parallelen Seiten. Die parallelen Seiten werden als Basen bezeichnet. Das Entfernen von Klammern bedeutet nicht, sie einfach nur zu löschen. Wir müssen jeden Term innerhalb der Klammern mit dem Faktor multiplizieren, der den Klammern vorausgeht. Es ist nicht notwendig, die Form einer Antwort zu ändern, aber Sie sollten in der Lage sein, zu erkennen, wenn Sie eine richtige Antwort haben, auch wenn die Form nicht dieselbe ist.

Beispiel 5 ist eine Formel, die die Zinsen (I) angibt, die für einen Zeitraum von D Tagen verdient werden, wenn der Kapitalbetrag (p) und der Jahreszinssatz (r) bekannt sind. Finden Sie den jährlichen Zinssatz, wenn die Höhe der Zinsen, der Kapitalbetrag und die Anzahl der Tage bekannt sind.

Lösung:

Das Problem erfordert die Lösung von r.

Beachten Sie, dass in diesem Beispiel r auf der rechten Seite lag und die Berechnung daher einfacher war. Wir können die Antwort auf eine andere Weise umschreiben, wenn wir möchten.

DARSTELLUNG VON UNGLEICHUNGEN

ZIELE

Nach Abschluss dieses Abschnitts sollten Sie in der Lage sein:

1. Verwenden Sie das Ungleichungssymbol, um die relativen Positionen zweier Zahlen auf dem Zahlenstrahl darzustellen.
2. Stellen Sie Ungleichungen auf dem Zahlenstrahl grafisch dar.

Wir haben bereits die Menge der rationalen Zahlen als solche besprochen, die als Verhältnis von zwei ganzen Zahlen ausgedrückt werden können. Es gibt auch eine Reihe von Zahlen, die als irrationale Zahlen bezeichnet werden, , die nicht als Verhältnis ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann. Dieser Satz enthält solche Zahlen wie und so weiter. Die Menge, die sich aus rationalen und irrationalen Zahlen zusammensetzt, wird als reelle Zahlen bezeichnet.

Bei zwei beliebigen reellen Zahlen a und b ist es immer möglich zu sagen, dass wir oft nur daran interessiert sind, ob zwei Zahlen gleich sind oder nicht, aber es gibt Situationen, in denen wir auch die relative Größe von Zahlen darstellen möchten, die nicht gleich sind.

Die Symbole < und > sind Ungleichungssymbole oder Ordnungsbeziehungen und werden verwendet, um die relativen Größen der Werte zweier Zahlen anzuzeigen. Normalerweise lesen wir das Symbol < als "kleiner als". Zum Beispiel wird ein < b als "a ist kleiner als b" gelesen. Normalerweise lesen wir das Symbol > als "größer als". Zum Beispiel wird ein > b als "a ist größer als b" gelesen. Beachten Sie, dass wir gesagt haben, dass wir a < b normalerweise so lesen, dass a kleiner als b ist. Das liegt aber nur daran, dass wir von links nach rechts lesen. In anderen Worte: "A ist kleiner als B" ist dasselbe wie zu sagen "B ist größer als A". Tatsächlich haben wir also ein Symbol, das nur zur Bequemlichkeit des Lesens auf zwei Arten geschrieben wird. Eine Möglichkeit, sich an die Bedeutung des Symbols zu erinnern, besteht darin, dass das spitze Ende in Richtung der kleineren der beiden Zahlen zeigt.

Die Aussage 2 < 5 kann gelesen werden als "zwei ist weniger als fünf" oder "fünf ist größer als zwei".

a < b, "a ist kleiner als bif und nur wenn es eine positive Zahl c gibt, die zu a addiert werden kann, um a + c = b zu erhalten.

Welche positive Zahl kann zu 2 addiert werden, um 5 zu erhalten?

In einfacheren Worten besagt diese Definition, dass a kleiner als b ist, wenn wir etwas zu a addieren müssen, um b zu erhalten. Natürlich muss das "Etwas" positiv sein.

Wenn Sie an den Zahlenstrahl denken, wissen Sie, dass das Hinzufügen einer positiven Zahl gleichbedeutend damit ist, sich auf dem Zahlenstrahl nach rechts zu bewegen. Das führt zu der folgenden alternativen Definition, die möglicherweise einfacher zu visualisieren ist.

Beispiel 1 3 < 6, weil 3 links von 6 auf dem Zahlenstrahl ist.

Wir könnten auch 6 > 3 schreiben.

Beispiel 2 - 4 < 0, weil -4 links von 0 auf dem Zahlenstrahl ist.

Wir könnten auch 0 schreiben > - 4.

Beispiel 3 4 > - 2, weil 4 rechts von -2 auf dem Zahlenstrahl ist.

Beispiel 4 - 6 < - 2, da -6 links von -2 auf dem Zahlenstrahl liegt.

Die mathematische Aussage x < 3, gelesen als "x ist kleiner als 3", bedeutet, dass die Variable x eine beliebige Zahl kleiner als (oder links von) 3 sein kann. Denken Sie daran, dass wir die reellen Zahlen und nicht nur ganze Zahlen betrachten, also denken Sie nicht daran, dass die Werte von x für x < 3 nur 2, 1, 0, - 1 und so weiter sind.

Sehen Sie, warum es unmöglich ist, die größte Zahl kleiner als 3 zu finden?

In der Tat ist es eine unmögliche Aufgabe, die Zahl x, die die größte Zahl kleiner als 3 ist, zu benennen. Es kann jedoch auf dem Zahlenstrahl angegeben werden. Um dies zu tun, benötigen wir ein Symbol, das die Bedeutung einer Aussage darstellt, z. B. x < 3.

Die Symbole ( und ), die auf dem Zahlenstrahl verwendet werden, zeigen an, dass der Endpunkt nicht in der Menge enthalten ist.

Beispiel 5 Graph x < 3 auf dem Zahlenstrahl

.

Lösung

Beachten Sie, dass der Graph einen Pfeil hat, der anzeigt, dass der Balken ohne Ende nach links verläuft.

Dieser Graph stellt jede reelle Zahl kleiner als 3 dar.

Beispiel 6 Graph x > 4 auf dem Zahlenstrahl.

Lösung

Dieser Graph stellt jede reelle Zahl größer als 4 dar.

Beispiel 7 Graph x > -5 auf dem Zahlenstrahl.

Lösung

Dieses Diagramm stellt jede reelle Zahl größer als -5 dar.

Beispiel 8 Erstellen Sie ein Zahlenliniendiagramm, das zeigt, dass x > - 1 und x < 5 ist. (Das Wort "und" bedeutet, dass beide Bedingungen zutreffen müssen.)

Lösung

Die Aussage x > - 1 und x < 5 kann zu - 1 < x < 5 verdichtet werden.

Dieser Graph stellt alle reellen Zahlen dar, die zwischen - 1 und 5 liegen.

Beispiel 9 Graph - 3 < x < 3.

Lösung

Wenn wir den Endpunkt in die Menge aufnehmen möchten, verwenden wir ein anderes Symbol, :. Wir lesen diese Symbole als "gleich oder kleiner als" und "gleich oder größer als".

Beispiel 10 x > ; 4 zeigt die Zahl 4 und alle reellen Zahlen rechts von 4 auf dem Zahlenstrahl an.

Was bedeutet x < 4?

das Die Symbole [ und ], die auf dem Zahlenstrahl verwendet werden, zeigen an, dass der Endpunkt in der Menge enthalten ist.

Sie werden feststellen, dass diese Verwendung von Klammern und Klammern konsistent mit ihrer Verwendung in zukünftigen Kursen in Mathematik ist.

Dieses Diagramm stellt die Zahl 1 und alle reellen Zahlen größer als 1 dar.

Dieses Diagramm stellt die Zahl 1 und alle reellen Zahlen kleiner oder gleich - 3 dar.

Beispiel 13 Schreiben Sie eine algebraische Aussage, die durch den folgenden Graphen dargestellt wird.

Beispiel 14 Schreiben Sie eine algebraische Aussage für den folgenden Graphen.

Dieser Graph stellt alle reellen Zahlen zwischen -4 und 5 dar, einschließlich -4 und 5.

Beispiel 15 Schreiben Sie eine algebraische Aussage für den folgenden Graphen.

Dieser Graph Enthält 4, aber nicht -2.

Beispiel 16 Graph auf dem Zahlenstrahl.

Lösung

Dieses Beispiel stellt ein kleines Problem dar. Wie können wir auf dem Zahlenstrahl anzeigen? Wenn wir den Punkt einschätzen, dann könnte eine andere Person die Aussage falsch verstehen. Könnten Sie möglicherweise sagen, ob der Punkt darstellt oder vielleicht ? Da der Zweck eines Diagramms darin besteht, die Verdeutlichung zu verdeutlichen, beschriften Sie immer den Endpunkt.

Ein Diagramm wird verwendet, um eine Aussage zu kommunizieren. Sie sollten immer den Nullpunkt benennen, um die Richtung anzuzeigen, und auch den Endpunkt oder die Punkte, um genau zu sein.

ZIELE DER LÖSUNG VON UNGLEICHUNGEN

Nach Abschluss dieses Abschnitts sollten Sie in der Lage sein, Ungleichungen mit einer Unbekannten zu lösen.

Die Lösungen für Ungleichungen basieren im Allgemeinen auf den gleichen Grundregeln wie Gleichungen. Es gibt eine Ausnahme, die wir bald entdecken werden. Die erste Regel lautet jedoch: Ähnlich wie beim Lösen von Gleichungen.

Wenn zu jeder Seite einer Ungleichung die gleiche Menge addiert wird , sind die Ergebnisse in der gleichen Reihenfolge ungleich.

Beispiel 1 Wenn 5 < 8, dann 5 + 2 < 8 + 2.

Beispiel 2 Wenn 7 < 10, dann 7 - 3 < 10 - 3.

5 + 2 < 8 + 2 wird zu 7 < 10. 7 - 3 < 10 - 3 wird zu 4 < 7.

Wir können diese Regel verwenden, um bestimmte Ungleichungen zu lösen.

Beispiel 3 Löse nach x auf: x + 6 < 10

Lösung

Wenn wir zu jeder Seite -6 addieren, erhalten

wir

Diese Lösung auf dem Zahlenstrahl grafisch darstellen, haben

wir Beachten Sie, dass die Vorgehensweise dieselbe ist wie beim Lösen von Gleichungen.

Wir werden nun die Additionsregel verwenden, um ein wichtiges Konzept bezüglich der Multiplikation oder Division von Ungleichungen zu veranschaulichen.

Nehmen wir x > a an.

Addieren Sie nun - x zu beiden Seiten durch die Additionsregel.

Denken Sie daran, dass das Addieren der gleichen Menge zu beiden Seiten einer Ungleichung ihre Richtung nicht ändert.

Fügen Sie nun -a zu beiden Seiten hinzu.

Die letzte Anweisung, - a > -x, kann umgeschrieben werden als - x < -a. Daher können wir sagen: "Wenn x > a, dann - x < -a. Daraus ergibt sich die folgende Regel:

Wenn eine Ungleichung multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert wird, sind die Ergebnisse in umgekehrter Reihenfolge ungleich.

Zum Beispiel: Wenn 5 > 3 dann -5 < -3.

Beispiel 5 Löse nach x auf und zeichne die Lösung grafisch dar: -2x> 6

Lösung

Um x auf der linken Seite zu erhalten, müssen wir jeden Term durch - 2 teilen. Beachten Sie, dass wir, da wir durch eine negative Zahl dividieren, die Richtung der Ungleichung ändern müssen.

Beachten Sie, dass, sobald wir durch eine negative Größe dividieren, Wir müssen die Richtung der Ungleichheit ändern.

Beachten Sie diese Tatsache besonders. Jedes Mal, wenn Sie durch eine negative Zahl dividieren oder multiplizieren, müssen Sie die Richtung des Ungleichungssymbols ändern. Dies ist der einzige Unterschied zwischen dem Lösen von Gleichungen und dem Lösen von Ungleichungen.

Wenn wir mit einer positiven Zahl multiplizieren oder dividieren, gibt es keine Veränderung. Wenn wir mit einer negativen Zahl multiplizieren oder dividieren, ändert sich die Richtung der Ungleichung. Seien Sie vorsichtig - dies ist die Quelle vieler Fehler.

Nachdem wir die Klammern entfernt haben und nur einzelne Terme in einem Ausdruck haben, ist die Vorgehensweise zur Lösungsfindung fast wie in Kapitel 2.

Schauen wir uns nun die Schritt-für-Schritt-Methode aus Kapitel 2 an und beachten Sie den Unterschied beim Lösen von Ungleichungen.

Eliminieren Sie zunächst Brüche, indem Sie alle Terme mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner aller Brüche multiplizieren. (Keine Änderung wenn wir mit einer positiven Zahl multiplizieren.)
Zweitens: Vereinfachen Sie, indem Sie gleiche Begriffe auf jeder Seite der Ungleichung kombinieren. (Keine Änderung)
Drittens: Addieren oder subtrahieren Sie Mengen, um das Unbekannte auf der einen Seite und die Zahlen auf der anderen Seite zu erhalten. (Keine Änderung)
Viertens Dividiere jeden Term der Ungleichung durch den Koeffizienten des Unbekannten. Wenn der Koeffizient positiv ist, bleibt die Ungleichung gleich. Wenn der Koeffizient negativ ist, wird die Ungleichung umgekehrt. (Dies ist der wichtige Unterschied zwischen Gleichungen und Ungleichungen.)

Der einzige mögliche Unterschied besteht im letzten Schritt.

Was ist zu tun, wenn man durch eine negative Zahl dividiert?

Vergessen Sie nicht, den Endpunkt zu beschriften.

ZUSAMMENFASSUNG

Schlüsselwörter

• Eine wörtliche Gleichung ist eine Gleichung, die mehr umfasst als ein Buchstabe.
• Die Symbole < und > sind Ungleichungssymbole oder Ordnungsbeziehungen .
• a < b bedeutet, dass A links von b auf dem reellen Zahlenstrahl liegt.
• Die Doppelsymbole : zeigen an, dass die Endpunkte in der Lösungsmenge enthalten sind .

Vorgehensweise

• Um eine Literalgleichung für einen Buchstaben im Vergleich zu den anderen zu lösen, gehen Sie wie in Kapitel 2 vor.
• Um eine Ungleichung zu lösen, gehen Sie wie folgt vor:
  Schritt 1: Eliminiere Brüche, indem du alle Terme mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner aller Brüche multiplizierst.
  Schritt 2: Vereinfachen Sie, indem Sie gleiche Begriffe auf jeder Seite der Ungleichung kombinieren.
  Schritt 3 Addiere oder subtrahiere Mengen, um das Unbekannte auf der einen Seite und die Zahlen auf der anderen Seite zu erhalten.
  Schritt 4 Dividiere jeden Term der Ungleichung durch den Koeffizienten der Unbekannten. Wenn der Koeffizient positiv ist, wird der Die Ungleichheit wird gleich bleiben. Wenn der Koeffizient negativ ist, wird die Ungleichung umgekehrt.
  Schritt 5: Überprüfen Sie Ihre Antwort.